Question

已知拋物線L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)，它的頂點P的坐標是(－，)，與y軸的交點是M(0，c)．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．

(1)請直接寫出拋物線y＝2x²－4x＋1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：

伴隨拋物線的解析式________，

伴隨直線的解析式________；

(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y＝－x²－3和y＝－x－3，則這條拋物線的解析式是________；

(3)求拋物線L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；

(4)若拋物線L與x軸交于A(x₁，0)，B(x₂，0)兩點，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB＝CD，請求出a、b、c應滿足的條件．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由拋物線y＝2x2－4x＋1的頂點為(1，－1)，與y軸的交點為(0，1)，那么它的伴隨拋物線的頂點為(0，1)，且過點(1，－1)． 　　由于頂點在y軸上，因此可設伴隨拋物線解析式為y＝ax2＋1，再把(1，－1)代入，可求得a＝－2，所以求得伴隨拋物線為y＝－2x2＋1． 　　伴隨直線是過(0，1)，(1，－1)兩點的直線，設直線解析式為y＝px＋q，則 　　解得 　　所以伴隨拋物線為y＝－2x＋1． 　　(2)若已知一條拋物線的伴隨拋物線與伴隨直線分別為y＝－x2－3與y＝－x－3，而它們在y軸的交點(0，－3)是原拋物線上的點，這兩條圖像的另一個交點是原拋物線的頂點，為了求這兩個圖像的交點，可解方程組 　　解得 　　而(0，－3)就是兩個圖像在y軸上的交點，則另一點(1，－4)就是原拋物線的頂點． 　　設拋物線的解析式為y＝m(x－1)2－4，把(0，3)代入，m＝1，所以y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3． 　　(3)求拋物線y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c都不為0)的伴隨拋物線與伴隨直線解析式的一般形式，由定義可知，伴隨拋物線的頂點是(0，c)，設它的解析式為y＝mx2＋c(m≠0)(對稱軸為y軸b＝0)． 　　∵拋物線過原拋物線的頂點P(－，)． 　　∴＝m·(－)2＋c，解得m＝－a． 　　∴伴隨拋物線的解析式為y＝－ax2＋c． 　　設伴隨直線解析式為y＝kx＋c． 　　∵P(－，)在此直線上，∴＝－k＋c，k＝， 　　∴伴隨直線的解析式為y＝x＋c． 　　(4)由x2＞x1＞0，且AB＝CD，則可用a、b、c表示出AB、CD的長． 　　∵拋物線L與x軸有兩個交點，∴Δ1＝b2－4ac＞0，∴b2＞4ac． 　　∵x2＞x1＞0，∴x1＋x2＝－＞0，x1x2＝＞0， 　　∴ad＜0，ac＞0． 　　對于伴隨拋物線y＝－ax2＋c，有Δ2＝02－(－4ac)＝4ac＞0， 　　由－ax2＋c＝0，得x＝±，∴C(－，0)，D(，0)， 　　∴CD＝2． 　　又AB＝x2－x1＝＝＝＝． 　　由AB＝CD，得＝2，整理得b2＝8ac． 　　綜上所述b2＞4ac，ab＜0，ac＞0，b2＝8ac． 　　所以a、b、c應滿足的條件為b2＝8ac且ab＜0(或bc＞0)．