Question

如圖1，已知：拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過B、C兩點的直線是y=x-2，連接AC．
（1）B、C兩點坐標分別為B（______，______）、C（______，______），拋物線的函數關系式為______；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFC（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0以及y=0代入y=x-2得出B，C的坐標．把相關坐標代入拋物線可得函數關系式．
（2）已知AB，AC，BC的值，根據反勾股定理可證明△ABC是直角三角形．
（3）證明△CGF∽△CAB，利用線段比求出有關線段的值．求出S_矩形DEFG的最大值．再根據△ADG∽△AOC的線段比求解．
解答：解：（1）令x=0，y=-2，
當y=0代入y=x-2得出：x=4，
故B，C的坐標分別為：
B（4，0），C（0，-2）．（2分）
y=x²-x-2．（4分）

（2）△ABC是直角三角形．（5分）
證明：令y=0，則x²-x-2=0．
∴x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0）．（6分）
解法一：∵AB=5，AC=，BC=2．（7分）
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．（7分）
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．（8分）

（3）能．①當矩形兩個頂點在AB上時，如圖1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴．（9分）
解法一：設GF=x，則DE=x，
CH=x，DG=OH=OC-CH=2-x．
∴S_矩形DEFG=x•（2-x）=-x²+2x=-（x-）²+．（10分）
當x=時，S最大．
∴DE=，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴，
∴AD=，
∴OD=，OE=2．
∴D（-，0），E（2，0）．（11分）
解法二：設DG=x，則DE=GF=．
∴S_矩形DEFG=x•=-x²+5x=-（x-1）²+．（10分）
∴當x=1時，S最大．
∴DG=1，DE=．
∵△ADG∽△AOC，
∴，
∴AD=，
∴OD=，OE=2．
∴D（-，0），E（2，0）．（11分）
②當矩形一個頂點在AB上時，F與C重合，如圖2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴．
解法一：設GD=x，
∴AC=，BC=2，
∴GF=AC-AG=-．
∴S_矩形DEFG=x•（-）=-x²+x
=-（x-）²+．（12分）
當x=時，S最大．∴GD=，AG=，
∴AD=．
∴OD=∴D（，0）（13分）
解法二：設DE=x，
∵AC=，BC=2，
∴GC=x，AG=-x．
∴GD=2-2x．
∴S_矩形DEFG=x•（2-2x）=-2x²+2x=-2（x-）²+（12分）
∴當x=時，S最大，
∴GD=，AG=．
∴AD=．
∴OD=
∴D（，0）（13分）
綜上所述：當矩形兩個頂點在AB上時，坐標分別為（-，0），（2，0）
當矩形一個頂點在AB上時，坐標為（，0）．（14分）
點評：本題考查的是二次函數的綜合運用以及三角形相似的判定，考生要學會靈活運用二次函數的相關知識．