Question

如圖1，已知：拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過B、C兩點的直線是y=

1

2

x-2，連接AC．
（1）寫出B、C兩點坐標，并求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由．
{拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)}．

Answer 1

分析：（1）根據直線BC的解析式，可確定B、C的坐標，代入拋物線的解析式中，即可確定待定系數的值．
（2）由（1）得到的拋物線解析式，可求得A點的坐標，進而可得到AB、AC、BC的長，然后根據這三邊的長，來判斷△ABC的形狀．
（3）此題應分兩種情況考慮：
①矩形有兩個頂點在AB邊上（設這兩點為D、E），首先設出DG的長為m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例線段，可求得GF的表達式，進而可根據矩形的面積公式求出關于矩形的面積和m的函數關系式，根據函數的性質即可得到矩形的最大面積及對應的m值，從而確定出矩形的四頂點的坐標；
②矩形有一個頂點在AB邊上（設為D），此時C、F重合，方法同①，首先設DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的長，進而根據矩形的面積公式得到關于矩形的面積和n的函數關系式，從而根據函數的性質求得矩形的最大面積和對應的n值，進而確定矩形的四個頂點坐標．

解答：解：（1）直線y=

1

2

x-2中，令y=0，則x=4；令x=0，則y=-2；
故B（4，0），C（0，-2）；
由于拋物線經過點C（0，-2），故c=-2；
將B點坐標代入y=

1

2

x²-bx-2中，得：b=-

3

2

；
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2．

（2）根據（1）中的函數解析式可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）；
則AB=5，AC=

5

，BC=2

5

；
故AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（3）分兩種情況考慮：
①如圖①所示，矩形DEFG中D、E在AB邊上；
設DG=EF=m；
由于FG∥x軸，則△CGF∽△CAB，

2-m

2

=

FG

5

，
解得FG=5-

5

2

m；
故矩形的面積S=DG•FG=（5-

5

2

m）m=-

5

2

m²+5m，
即S=-

5

2

（m-1）²+

5

2

，
故m=1時，矩形的面積最大為2.5；
此時D（-

1

2

，0），E（2，0），G（-

1

2

，-1），F（2，-1）；
②如圖②所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB邊上；
設DE=CG=n，同①可得：

5 -n

5

=

DG

2 5

即DG=2

5

-2n；
故矩形的面積S=DE•DG=（2

5

-2n）n=-2（n-

5

2

）²+

5

2

；
即當n=

5

2

時，矩形的最大面積為2.5；
此時BD=5×

DE

5

=

5

2

，OD=OB-BD=

3

2

，
即D（

3

2

，0）；
綜上所述，矩形的最大面積為2.5，此時矩形在AB邊上的頂點坐標為（-

1

2

，0），（2，0）或（

3

2

，0）．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、直角三角形的判定、矩形面積的計算方法、二次函數最值的應用等知識，要注意（3）題中，矩形的擺放方法有兩種，不要漏解．