Question

如圖，已知在線段BC同側作兩個三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB＞DC且AB+AC=DB+DC，設AC與DB交于E．
求證：AE＞DE．

Answer 1

證明：由已知可得2BD＞BD+DC=AB+AC=2AC，
∴BD＞AC，
在BD上截取DF=AC，連接AF、AD（如圖）
∵BD+DC=2AC，
∴DC+BF=AC+AB，
∴在△BAF中，AF＞AB-BF=DC．
在△BAD與△ADF中，
AD=AD，AC=DF，AF＞CD，
∴∠1＞∠2，
∴AE＞DE．
分析：由已知可得BD＞AC，在BD上截取DF=AC，連接AF、AD，根據三角形三邊關系可得AF＞CD，再由在兩個三角形中，如果有兩對應邊分別相等，那么對邊較大的，其夾角也較大，可得∠1＞∠2，再根據大角對大邊即可證明AE＞DE．
點評：本題考查了三角形三邊關系．解題的關鍵是作輔助線，構造有兩對應邊分別相等的兩個三角形得出∠1＞∠2．