Question

如圖，直線y=3x+3與x軸交于A點，與y軸交于B點，以AB為直角邊作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AC=AB，雙曲線y=

k

x

經過C點
①求雙曲線的解析式；
②點P為第四象限雙曲線上一點，連接BP，點Q（x、y）為線段AB上一動點，過Q作QD⊥BP，若QD=n，問是否存在一點P使y+n=3？若存在，求直線BP解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

①過點C作CD⊥x軸于點D．
由y=3x+3得，A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3．
∵∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠AOB．
∵AC=AB，∠CAD=∠AOB=90°，
∴△ADC≌△BOA，
∴CD=OA=1，AD=OB=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C（-4，1），
∴k=xy=（-4）×1=-4，
∴該雙曲線的解析式是y=-

4

x

；

②過點Q作QM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N．
∵∠MON=90°，
∴四邊形OMQN是矩形，
∴QM=ON．
∵y+n=3，OM=3，
∴ON+QD=OB，
∵ON+BN=OB，
∴QD=BN．
∵∠QNB=∠BDQ=90°，BQ=QB，
∴△BQN≌△QBD，
∴∠BQN=∠QBD，
∵QN∥OA，
∴∠BQN=∠BAO，
∴∠BAO=∠QBD，
∴AE=DE．
設OE=x．則BE=AE=x+1．
在直角△BOE中，由勾股定理，得
32+x²=（x+1）²，
解得，x=4，
∴E（4，0）．
設直線BP的解析式是：y=kx+b（k≠0）
∴

b=3 4k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
∴y=-

3

4

x+3．