Question

如圖，在直角△ABC中，∠C=90°、AB=6、AC=3，⊙O與邊AB相切于點D、與邊AC交于點E，連接DE，若DE∥BC，AE=2EC，則⊙O的半徑是    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，OE，由AC的長，及AE=2EC，求出AE及EC的長，在直角三角形ABC中，由AC及AB的長，利用勾股定理求出BC的長，再由ED平行于BC，得到兩對同位角相等，根據兩對對應角相等的三角形相似可得出三角形AED與三角形ACB相似，由相似得比例，將AE，AC及BC的長代入求出DE的長，在直角三角形AED中，根據銳角三角函數定義求出tan∠ADE的值，利用特殊角的三角函數值得出∠ADE的度數，根據AB為圓O的切線，由切線的性質得到OD與AB垂直，進而得到∠ADE與∠EDO互余，由∠ADE的度數求出∠EDO的度數為60°，再由半徑OE=OD，可得出三角形OED為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到圓的半徑與ED的長相等，由ED的長可得出圓O的半徑．
解答：解：連接OD，OE，如圖所示：

∵AC=3，AE=2EC，
∴AE=2，EC=1，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=3，
根據勾股定理得：BC==3，
∵ED∥BC，∠C=90°，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，
∴△AED∽△ACB，
∴===，∠AED=90°，
又∵BC=3，
∴ED=2，
在Rt△AED中，tan∠ADE===，
∴∠ADE=30°，又∠ADO=90°，
∴∠EDO=60°，又OE=OD，
∴△OED為等邊三角形，
則圓的半徑OE=ED=2．
故答案為：2
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，切線的性質，勾股定理，銳角三角函數定義，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．