Question

矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于點F，連接FC．
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，根據相似三角形的對應邊成比例，可得，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點，tan∠ECF=，即可求得答案．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△AEF∽△DCE，
∴，
∵矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點，
∴DC=AB=2AD=4AE，
∴tan∠ECF==．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及銳角三角函數的定義．此題難度適中，注意數形結合思想的應用．