Question

（2012•溧水縣一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．點E在線段BA上從B點以每秒1個單位的速度出發向A點運動，F是射線CD上一動點，在點E、F運動的過程中始終保持EF=5，且CF＞BE，點P是EF的中點，連接AP．設點E運動時間為ts．

（1）在點E運動過程中，AP的長度是如何變化的？

D

A．一直變短     B．一直變長    C．先變長后變短    D．先變短后變長
（2）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，點P的位置應該在

AD的中點

．
（3）以P為圓心作⊙P，當⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時，求出此時t的值，并指出此時⊙P的半徑長．．

Answer 1

分析：（1）由圖形可得出在點E運動過程中，由CF大于BE，AP的長度存在一個最小值，如圖所示，即當P為AD中點時，AP最小，故AP的長度先變短后變長；
（2）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，點P的位置應該在AD的中點，理由為：由P為EF的中點得到一對邊相等，再由一對直角相等及一對對頂角相等，利用AAS可得出三角形AEP與三角形DFP全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AP=DP，則此時P為AD的中點；
（3）分兩種情況考慮：當⊙P在矩形ABCD內分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時，連接PQ，PR，PN，如圖3所示，可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個全等的正方形，其邊長為大正方形邊長的一半，在直角三角形PQE中，由PE與PQ的長，利用勾股定理求出EQ的長，進而由BA+AQ-EQ求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑；
當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時，如圖4所示，同理求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑．

解答：解：（1）在點E運動過程中，AP的長度存在一個最小值，即當P為AD中點時，AP最短，
則AP的長度是先變短后變長；

（2）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，如圖所示，
∵P為EF的中點，∴EP=FP，
∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠PDF=90°，
在△AEP和△DFP中，

∠A=∠PDF=90° ∠APE=∠DPF EP=FP

，
∴△AEP≌△DFP（AAS），
∴AP=DP，
則此時P為AD的中點；

（3）如圖3，當⊙P在矩形ABCD內分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時，
連接PQ、PR、PN，則PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，
則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個全等的正方形，
則PQ=AQ=AR=DR=

1

2

AD=

3

2

，
在Rt△PQE中，EP=

5

2

，由勾股定理可得：EQ=2，
則BE=BA-EQ-AQ=6-2-

3

2

=

5

2

，
解得t=

5

2

．
此時⊙P的半徑為

3

2

；
如圖4，當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時，
類比圖3可得，EQ=2，AQ=

3

2

，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+

3

2

-2=

11

2

，
∴t=

11

2

，此時⊙P的半徑為

3

2

．
故答案為：（1）D；（2）AD的中點

點評：此題考查了圓綜合題，涉及的知識有：正方形的判定與性質，以及勾股定理，利用了轉化及分類討論的思想，是一道探究型的壓軸題．