Question

（2012•溧水縣一模）七年級(jí)我們?cè)鴮W(xué)過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，常可利用它來(lái)解決兩條線段和最小的相關(guān)問(wèn)題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：
如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最小．
我們只要作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，（如圖2所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+PB′最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時(shí)AP+PB′最小，因此連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P．
有很多問(wèn)題都可用類似的方法去思考解決．
探究：
（1）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)．連接EP，CP，則EP+CP的最小值是

5

；
運(yùn)用：
（2）如圖4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)該是

（2，0）

；

操作：
（3）如圖5，A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點(diǎn)B，C，組成△ABC，使△ABC周長(zhǎng)最小．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值；
（2）找點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接AC'，則AC'與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置，先求出直線AC'的解析式，繼而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）分別作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'、關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，則A'A''與OM交點(diǎn)為點(diǎn)B的位置，與ON交點(diǎn)為C的位置．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值，
∴EP+CP的最小值=AE=

5

；

（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接AC'，則AC'與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置，
∵點(diǎn)C'坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，4），
∴直線C'A的解析式為：y=x-2，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；

（3）分別作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'、關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，則A'A''與OM交點(diǎn)為點(diǎn)B的位置，與ON交點(diǎn)為C的位置；
如圖所示：點(diǎn)B、C即為所求作的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用軸對(duì)稱求解最短路徑的問(wèn)題，求解模式題意已經(jīng)給出，注意仔細(xì)理解，靈活運(yùn)用題目所給的信息．