Question

設a，b，c為互不相等的實數，且滿足關系式：b²+c²=2a²+16a+14①bc=a²-4a-5②．求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先通過代數式變形得（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c與bc，就可以把b，c可作為一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的兩個不相等實數根，由△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c時的a的值．先設a=b和a=c，分別代入方程③，求得a的值，則題目要求的a的取值范圍應該是在a＞-1的前提下排除求得的a值．

解答：解：∵b²+c²=2a²+16a+14，bc=a²-4a-5，
∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a²-4a-5，
所以b，c可作為一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的兩個不相等實數根，
故△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，
解得a＞-1．
若當a=b時，那么a也是方程③的解，
∴a²±2（a+1）a+a²-4a-5=0，
即4a²-2a-5=0或-6a-5=0，
解得，a=

1± 21

4

或a=-

5

6

．
當a=c時，同理可得a=-

5

6

或a=

1± 21

4

．
所以a的取值范圍為a＞-1且a≠-

5

6

且a≠

1± 21

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的求根公式：x=

-b± b 2-4ac

2a

（b²-4ac≥0）．同時考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式b²-4ac和根與系數的關系．