Question

設x，y，z為互不相等的非零實數，且x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

．求證：x²y²z²=1．

Answer 1

分析：分析本題x，y，z具有輪換對稱的特點，我們不妨先看二元的情形，即令x，y為互不相等的非零實數，且x+

1

y

=y+

1

x

，因為從x+

1

y

=y+

1

x

，易推出x-y=

1

x

-

1

y

，故有xy（x-y）=y-x，又因為x≠y，所以xy=

y-x

x-y

=-1，所以x²y²=1．三元與二元的結構類似．

解答：證明：由已知x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

得出：
∵x+

1

y

=y+

1

z

，
∴x-y=

1

z

-

1

y

，
x-y=

y-z

yz

，
∴yz=

y-z

x-y

，①
同理得出
zx=

z-x

y-z

，②
xy=

x-y

z-x

．③
①×②×③得x²y²z²=1．

點評：此題主要考查了分式的等式證明，由x+

1

y

=y+

1

x

得出xy=

y-x

x-y

=-1，即x²y²=1，得出三元的做法，運用這種欲進先退的解題策略探索解決這個問題比較簡單．