Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC為直徑，，DE⊥BC，垂足為E．

（1）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若CE=1，AC=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）與相切.理由見解析；（2）.

【解析】

（1）連結OD，如圖，根據圓周角定理，由得到∠BAD=∠ACD，再根據圓內接四邊形的性質得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；利用內錯角相等證明OD∥BC，而DE⊥BC，則OD⊥DE，于是根據切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；

（2）作OH⊥BC于H，易得四邊形ODEH為矩形，所以OD=EH=2，則CH=HE﹣CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根據扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形OCD﹣S△OCD進行計算即可．

（1）直線ED與⊙O相切．理由如下：

連結OD，如圖，∵，∴∠BAD=∠ACD．

∵∠DCE=∠BAD，∴∠ACD=∠DCE．

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，而∠OCD=∠DCE，∴∠DCE=∠ODC，∴OD∥BC．

∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線；

（2）作OH⊥BC于H，則四邊形ODEH為矩形，∴OD=EH．

∵CE=1，AC=4，∴OC=OD=2，∴CH=HE﹣CE=2﹣1=1．在Rt△OHC中，∵OC=2，CH=1，∠OHC=90°，∠HOC=30°，∴∠COD=60°，∴陰影部分的面積=S扇形OCD﹣S△OCD

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π．