Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，點為拋物線的頂點.

（1）若點坐標為，求拋物線的解析式和點的坐標；

（2）若點為拋物線對稱軸上一點，且點的縱坐標為，點為拋物線在軸上方一點，若以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時，求的值；

（3）直線與（1）中的拋物線交于點、（如圖2），將（1）中的拋物線沿著該直線方向進行平移，平移后拋物線的頂點為，與直線的另一個交點為，與軸的交點為，在平移的過程中，求的長度；當時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）;;（2）； ，;（3）

【解析】

（1）將點D的坐標代入函數解析式，求得a的值；利用拋物線解析式來求點C的值．

（2）需要分類討論：BC為邊和BC為對角線兩種情況，根據“平行四邊形的對邊平行且相等，平行四邊形的對角線相互平分”的性質列出方程組，利用方程思想解答．

（3）根據平移規律得到D′E′的長度、平移后拋物線的解析式，然后由函數圖象上點的坐標特征求得點B′的坐標．

（1）依題意得：

解得，

∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-4）或

∴

（2）由題意可知、、

對稱軸為直線，則

①，且，根據點的平移特征可知

則，

解得：（舍去正值）；

②當為對角線時，設，根據平行四邊形的對角線互相平分可得

，

解得，

則

解得：

∴，

（3）聯立

解得：(舍去)，

則，根據拋物線的平移規律，

則平移后的線段始終等于

設平移后的，則

平移后的拋物線解析式為：

則：過，

∴，則

拋物線過

解得，

∴，（與重合，舍去）

∴