Question

8．如圖，拋物線y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；
（2）判斷以點(diǎn)A，C，D為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并說明理由；
（3）點(diǎn)M（ m，0）（-3＜m＜-1）為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，得矩形PQNM，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí)，m的值是多少？并直接寫出此時(shí)△AEM的面積．

Answer 1

分析 （1）通過解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）結(jié)論：△ACD是直角三角形．連接CD、AD，設(shè)拋物線的對稱軸交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CF⊥DH于點(diǎn)F，只要證明DF=FH=CF即可解決問題．
（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長d=-2m²-8m+2，將-2m²-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．

解答 解：（1）由拋物線y+-x²-2x+3可得，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，即C（0，3）．
當(dāng)y=0，-x²-2x+3=0，解得，x=-3或x=l，令x=0，得y=3，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
把y=-x²-2x+3化為頂點(diǎn)式為y=-（x+1）²+4，
∴D（-1，4）．

（2）結(jié)論：△ACD是直角三角形，理由如下，
連接CD、AD，設(shè)拋物線的對稱軸交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CF⊥DH于點(diǎn)F，則F（-1，3）．
由A（-3，0），C（0，3）得直線AC的解析式為y=x+3，
把x=-1代入y=x+3得，y=2，即H（-1，2），
∴DF=4-3=1，F(xiàn)H=3-2=1，
∴DF=FH=CF=1，
∴∠HCD=90°，
∴△ACD是直角三角形．

（3）由D（-1，4）可知，對稱軸為x=-1，
∵M(jìn)（m，0），∴PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）
=（-m²-2m+3-2m-2）×2
=-2m²-8m+2，
∵-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴m=-2時(shí)，矩形的周長最大，
∵A（-3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=-2時(shí)，則E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$•AM•EM=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、方程思想，屬于中考?jí)狠S題．