Question

如圖，△ABC內接于⊙O，D是OB延長線上一點，DA是⊙O的切線，A是切點，且cosD=．
（1）求∠C的度數．  
（2）若AD=6，求AB的長．  
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由DA為圓O的切線，根據切線的性質得到OA與AD垂直，由D為銳角及cosD的值，利用特殊角的三角函數值求出D的度數，再根據直角三角形的兩銳角互余求出∠AOD的度數，最后根據同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，由圓心角∠AOB的度數即可求出圓周角∠C的度數；
（2）由第一問求出的∠AOB度數為60°，再加上OA=OB，得到三角形AOB為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊長相等，可得出AB=AO，在直角三角形AOD中，由AD及tanD的值，利用銳角三角函數定義求出AO的值，即為AB的長；
（3）由直角三角形AOD兩直角邊AD及OA乘積的一半求出三角形ADO的面積，過O作OE垂直于AB，根據三線合一得到E為AB的中點，由AB的長得出AE的長，在直角三角形AOE中，由OA及AE的長，利用勾股定理求出OE的長，利用底乘以高除以2求出等邊三角形AOB的面積，由三角形AOD的面積減去三角形AOB的面積即可求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接OA，如圖所示：

∵AD是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，即∠OAD=90°，
又∵cosD=，∴∠D=30°，
∴∠AOD=60°，
又∠AOB和∠C是分別對的圓心角和圓周角，
∴∠C=∠AOB=30°；                   
（2）∵OA=OB，∠AOD=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA，
在直角三角形AOD中，
∵tan∠AOD=，且AD=6，
∴OA===2，
∴AB=OA=2；               
（3）過點O作OE⊥AB，垂足為點E，如圖所示：

在Rt△AOE中，sin60°=，即OE=OA•sin60°=2×=3，
∴S_△AOB=AB•OE=×2×3=3，S_△AOD=AD•AO=×6×2=6，
則S_陰影=S_△AOD-S_△AOB=6-3=3．
點評：此題考查了切線的性質，銳角三角函數定義，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形、等邊三角形面積的求法，利用了轉化及數形結合的思想，當直線與圓相切時，常常連接圓心與切點，根據切線的性質得出垂直，進而利用直角三角形的性質來解決問題．