Question

已知：如圖，點I是△ABC的內心，AI交邊BC于點D，交△ABC外接圓于點E．
求證：
（1）IE=BE；        
（2）IE²=AE×DE．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用內心的性質得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性質得出∠BIE=∠EBI，進而求出即可；
（2）利用相似三角形的性質與判定得出△BED∽△AEB，進而求出BE²=AE•ED，即可得出答案．
解答： 證明：（1）連接BI、BE．
∵I為△ABC內心，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∵∠BIE=∠2+∠5，
∠EBI=∠1+∠4，
∴∠BIE=∠EBI，
∴BE=IE；

（2）證明：∵∠BED=∠AEB，
∠4=∠5，
∴△BED∽△AEB，
∴=，即 BE²=AE•ED，
由①知BE=IE，
∴IE²=AE•ED．
點評：此題主要考查了三角形內心的性質以及三角形外角的性質和相似三角形的判定與性質等知識，根據已知得出△BED∽△AEB是解題關鍵．