Question

如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB．求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形兩銳角互余可得∠1=∠2，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△NCA全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠3=∠N，再根據CF⊥AB可得∠4+∠N=90°，所以∠3+∠4=90°，即∠MAN=90°，從而得證．

解答：證明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠1+∠BMF=90°，∠2+∠CME=90°，
∵∠BMF=∠CME（對頂角相等），
∴∠1=∠2，
在△ABM和△NCA中，
∵

BM=AC ∠1=∠2 CN=AB

，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM=AN；

（2）根據（1）可得△ABM≌△NCA，
∴∠3=∠N，
∵CF⊥AB，
∴∠4+∠N=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即∠MAN=90°，
因此，AM⊥AN．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，已知兩組對應邊相等，想法證明這兩邊的夾角相等是解題的關鍵，思路比較清晰．