Question

15．如圖，已知△ABC與△DEF分別是等邊三角形和等腰直角三角形，AD與FC分別是△ABC和△DEF的高，AC與DF交于點G，BC，DE在同一條直線上，則下列說法不正確的是（　　）

• A． △AGD∽△CGF
• B． △AGD∽△DGC
• C． $\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=3
• D． $\frac{AG}{CG}$=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設AB=BC=AC=2a，根據等邊三角形的性質得出AD⊥BC，BD=DC=a，由勾股定理求出AD=$\sqrt{3}$a，根據△DEF是等腰直角三角形的性質得出FC⊥DE，DC=CE=DF=a，求出AD∥FC，推出△AGD∽△CGF，再逐個判斷即可．

解答 解：A、設AB=BC=AC=2a，
∵三角形ABC是等邊三角形，AD是高，
∴AD⊥BC，BD=DC=a，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{（2a）^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∵△DEF是等腰直角三角形，FC是高，
∴FC⊥DE，DC=CE=DF=a，
∴AD∥FC，
∴△AGD∽△CGF，故本選項錯誤；
B、不能推出△AGD∽△DGC，故本選項正確；
C、∵△AGD∽△CGF，AD=$\sqrt{3}$a，FC=a，
∴$\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=（$\frac{AD}{FC}$）²=3，故本選項錯誤；
D、∵△AGD∽△CGF，AD=$\sqrt{3}$a，FC=a，
∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AD}{FC}$=$\sqrt{3}$，故本選項錯誤；
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形性質，等腰直角三角形性質，勾股定理的應用，能求出△AGD∽△CGF是解此題的關鍵．