Question

鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形．如圖1，□ABCD中，若AB=1，BC=2，則□ABCD為1階準菱形．
（1）判斷與推理：①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是 _________ 階準菱形； ②小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2，把ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABFE是菱形．
（2）操作、探究與計算：①已知□ABCD的鄰邊長分別為1，a（a＞1），且是3階準菱形，請畫出□ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值；
②已知□ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a=6b+r，b=5r，請寫出□ABCD是幾階準菱形．

Answer 1

解：（1）①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進過兩次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，故鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形；故答案為：2；
②由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴四邊形ABFE是菱形；
（2）①如圖所示：

②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；
如圖所示：

故□ABCD是10階準菱形．