Question

已知正數a，b滿足a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8，則a²-b²=（　　）

• A、1
• B、3
• C、5
• D、不能確定

Answer 1

分析：首先將a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8通過提取公因式、運用完全平方式、添加項轉化為ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0．再根據a、b均為正數以及非負數的性質，得到a-b=1、ab=2，進而解出a、b的值，代入a²-b²求得結果．

解答：解：∵a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8，
?ab（a²+b²）-2ab（a-b）=7ab-8，
?ab（a²-2ab+b²）-2ab（a-b）+2a²b²-7ab+8=0，
?ab（a-b）²-2ab（a-b）+2a²b²-7ab+8=0，
?ab[（a-b）²-2（a-b）+1]+2（a²b²-4ab+4）=0，
?ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0，
∵a、b均為正數，
∴ab＞0，
∴a-b-1=0，ab-2=0，
即a-b=1，ab=2，
解方程

a-b=1 ab=2

，
解得a=2、b=1，a=-1、b=-2（不合題意，舍去），
∴a²-b²=4-1=3．
故選B．

點評：本題考查因式分解的應用、完全平方式、非負數的性質．解決本題的關鍵是將原式a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8轉化為ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0形式，根據已知與非負數的性質確定出a、b的值．