Question

【題目】（探索新知）如圖1，點C將線段AB分成AC和BC兩部分，若BC＝πAC，則稱點C是線段AB的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．

（1）若AC＝3，則AB＝ ；

（2）若點D也是圖1中線段AB的圓周率點（不同于C點），則AC DB；

（深入研究）如圖2，現有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數軸上表示1的點重合，并把圓片沿數軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置．

（3）若點M、N均為線段OC的圓周率點，求線段MN的長度．

（4）圖2中，若點D在射線OC上，且線段CD與以O、C、D中某兩個點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點D所表示的數．

Answer 1

【答案】（1）3π+3；（2）＝；（3）π－1，（4）1、π、π++2、π2+2π+1．

【解析】

（1）根據線段之間的關系代入解答即可；

（2）根據線段的大小比較即可；

（3）由題意可知，C點表示的數是π+1，設M點離O點近，且OM=x，根據長度的等量關系列出方程求得x，進一步得到線段MN的長度.

（1）∵AC=3，BC=πAC，

∴BC=3π，

∴AB=AC+BC=3π+3．

（2）∵點D、C都是線段AB的圓周率點且不重合，

∴BC=πAC，AD=πBD，

∴設AC=x，BD=y，則BC=πx，AD=πy，

∵AB=AC+BC=AD+BD，

∴x+πx=y+πy，

∴x=y

∴AC=BD

（3）由題意可知，C點表示的數是π+1，

M、N均為線段OC的圓周率點，不妨設M點離O點近，且OM=x，

x+πx=π+1，解得x=1，

∴MN=π+1-1-1=π-1；

（4）設點D表示的數為x，

如圖3，若CD=πOD，則π+1-x=πx，解得x=1；

如圖4，若OD=πCD，則x=π（π+1-x），解得x=π；

如圖5，若OC=πCD，則π+1=π（x-π-1），解得x=π++2；

如圖6，若CD=πOC，則x-（π+1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；

綜上，D點所表示的數是1、π、π++2、π2+2π+1．