Question

如圖，直線與x，y軸分別交于點A，C，過點A、C分別作x，y軸的垂線，交于點B，點D為AB的中點．點P從點A出發，以每秒1個單位的速度，沿△AOC邊 A→O→C→A的方向運動，運動時間為t（秒）．
（1）求點B的坐標；
（2）設△APC的面積為S，求S關于t的函數解析式；
（3）在點P的運動過程中，是否存在點P，使△ADP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與x，y軸分別交于點A，C，
∴點A的坐標為：（8，0），點C的坐標為：（0，6），
∵過點A、C分別作x，y軸的垂線，交于點B，
∴點B的坐標為：（8，6）；

（2）當0≤t≤8時，點P在OA上，
∵AP=t，OC=6，
∴S=AP•OC=×t×6=3t；
當8＜t＜14時，點P在OC上，
∵PC=OA+OC-t=14-t，OA=8，
∴S=PC•OA=×（14-t）×8=-4t+56；

（3）存在．
∵點D為AB的中點，
∴AD=AB=3，
①當0≤t≤8時，點P在OA上，
∵∠OAD=90°，
∴當AP=AD=3時，
∴t=3；
②如圖1，當8＜t≤14時，點P在OC上，
過點P作PH⊥AB于點H，
∵PA=PD，
∴AH=AD=1.5，
∴OP=AH=1.5，
∴t=9.5；
③如圖2，當14＜t≤24時，點P在AC上，
當AD=P₁D時，AP₁=2AD•cos∠BAC=3.6，
∴t=OA+OC+AC-AP₁=24-3.6=20.4；
當AP₂=AD=3時，t=24-3=21；
當AP₃=P₃D時，AP₃=2.5，
∴t=24-2.5=21.5．
綜上可得：t=3或t=9.5或t=20.4或 t=21或t=21.5．
分析：（1）由直線與x，y軸分別交于點A，C，即可求得點A與C的坐標，又由過點A、C分別作x，y軸的垂線，交于點B，即可求得點B的坐標；
（2）分別從點P在OA上與點P在OC上去分析求解即可求得答案；
（3）分別從點P在OA上、點P在OC上與點P在AC上去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了一次函數的性質、三角形的面積以及等腰三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．