Question

如圖，直線與x、y軸分別交于點A、B，以AB為直徑的⊙M過原點O，垂直于x軸的直線MP與⊙M的下半圓交于點P．
（1）求點B關于直線MP對稱的點C的坐標；　
（2）若直線MP的解析式是x=6，求過P、B、C三點的拋物線的解析式；　
（3）拋物線上是否存在點E，使∠EOP=45°？若存在，求出坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與x、y軸分別交于點A、B，
設y=0，則-x+3m=0，
∴x=4m，
∴A（4m，0），
∴OA=|4m|
設x=0，則y=3m，
∴B（0，3m），
∵MP⊥OA，
∴點M的橫坐標為2m，
∴點C的橫坐標為4m，縱坐標于B相同，
∴C（4m，3m）；

（2）直線MP的解析式是x=6，
∴2m=6，m=3，
∴A（12，0），B（0，9），C（12，9）
由勾股定理得AB==15，
即MP=，
∴M（6，），
∴P（6，-3）
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把B，P，C三點的坐標分別代入得
，
解得．
故過P、B、C三點的拋物線的解析式是y=x²-4x+9；

（3）假設拋物線上存在點E，使∠EOP=45°，延長OE交圓于D，
則∠DMP=90°，
∵M（6，），MD=AB=，
∴D（，）
設直線OD的解析式為y=kx，把D（，）代入解得k=，
∴y=x，
∵E是OD與拋物線的交點，
∴聯立解析式組成方程組為：，
解得：或，
故存在滿足條件的點E，有兩個坐標分別是（，），（，）．
分析：（1）由直線的解析式可求出B和A點的坐標，因為ABAB為直徑，M是圓心所以M是AB中點，又因為MP⊥OA，利用垂徑定理可得D是AO中點，即OD的長可求，進而求出直線MP的解析式，從而求出點B關于直線MP對稱的點C的坐標；
（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由（1）可知OP=2m=6，所以可求出B，P，C三點的坐標，代入計算即可；
（3）假設拋物線上存在點E，使∠EOP=45°，設射線OE交圓于D，利用圓周角定理求出D點的坐標，進而求出直線OE的解析式，此解析式與拋物線的解析式聯立，解方程組即可．
點評：此題考查了二次函數和一次函數解析式的確定、軸對稱的性質以及函數圖象交點坐標的求法等知識，綜合性強，難度較大．