Question

如圖，△ABC內接于⊙O，過點B的切線與CA的延長線相交于點E，且∠BEC=90°，點D在OA的延長線上，AO⊥BC，∠ODC=30°．
（1）求證：DC為⊙O的切線．
（2）若CA=6，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由半徑OA垂直于BC，利用垂徑定理得到A為的中點，可得出兩條弧相等，根據等弧對等角可得出∠ABC=∠ACB，又BE為圓O的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角可得出∠EBA=∠ACB，等量代換可得出三個角相等，由BE與EC垂直得到∠E為直角，可得出三個角都為30°，再利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，可得出∠AOC為60°，又∠ADC為30°，在三角形ODC中，利用三角形的內角和定理得到∠OCD為90°，根據垂直的定義得到OC垂直于CD，即可得出此時CD為圓O的切線；
（2）由OA=OC，且∠AOC為60°，得到三角形AOC為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊長相等可得出OA=OC=AC，由AC的長得出OC的長，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠ODC，將OC及tan30°的值代入即可求出CD的長．
解答：解：（1）連接OC，如圖所示：
∵AO⊥BC，且O為圓心，
∴點A為的中點，即=，
∴∠BCA=∠ABC，
又BE為切線，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC，
∵∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°，
∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°，
∴OC⊥CD，
則CD為圓O切線；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴tan∠ODC=tan30°=，
則CD==6．
點評：此題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，以及特殊角的三角函數值，其中證明切線的方法有兩種：有點連接證垂直；無點作垂線證垂線段長度等于半徑，本題第一問用的是第一種方法．