Question

如圖，D為Rt△ABC斜邊AB上一點，以CD為直徑的圓分別交△ABC三邊于E，F，G三點，連接FE，FG．
（1）求證：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4

5

，D為AE的中點，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接DG，首先證DG∥BC，得∠B=∠GDA，再根據圓內接四邊形的性質得出∠ADG=∠EFG，經等量代換后可得出∠EFG=∠B；
（2）由勾股定理，易求得AB的長；連接CE，Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理可求出AE的長，也就求得了DE、BE的長，再根據射影定理可求出CE的值；進而可在Rt△CED中，用勾股定理求出CD的長．

解答：（1）證明：連接GD；
∵CD是直徑，
∴∠CGD=90°；
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠B；
又∵四邊形DGFE是圓的內接四邊形，
∴∠ADG=∠EFG；
∴∠B=∠EFG；

（2）解：連接CE，則CE⊥AB；
在Rt△ACB中，AC=4

5

，BC=2

5

；
由勾股定理，得：AB=

AC2+BC2

=10；
由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE=AC²÷AB=8；
∴AD=DE=4，BE=2；
CE²=AE•BE=16，∴CE=4；
Rt△CED中，CE=4，DE=4；∴CD=4

2

．

點評：此題主要考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、勾股定理、射影定理等知識的綜合應用．