Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD²=41．

Answer 1

分析 根據等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據勾股定理，可得答案．

解答 解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA\\;}\\{∠BAD=∠CAD′}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=$\sqrt{A{D}^{2}+AD{′}^{2}}$，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=$\sqrt{D{C}^{2}+DD{′}^{2}}$，
∴BD=CD′=$\sqrt{41}$，即BD²=41．
故答案為：41．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，勾股定理，作出全等圖形是解題關鍵．