Question

已知：?ABCD中，對角線AC⊥AB，AB=15，AC=20，點P為射線BC上一動點，AP⊥PM（點M與點B分別在直線AP的兩側），且∠PAM=∠CAD，連結MD．

（1）當點M在?ABCD內時，如圖1，設BP=x，AP=y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
（2）請在圖2中畫出符合題意的示意圖，并探究：圖中是否存在與△AMD相似的三角形？若存在，請寫出并證明；若不存在，請說明理由；
（3）當△AMD為等腰三角形時，求BP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AE⊥BC于E，先在Rt△ABC中運用勾股定理求出BC=25，再解Rt△ABE，得到AE=12，BE=9，然后在Rt△AEP中，利用勾股定理得AP²=PE²+AE²，即可求出y關于x的函數關系式；
（2）先由兩角對應相等的兩三角形相似證明出△APM∽△ACD，則AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似即可得到△PAC∽△MAD；
（3）先由相似三角形的形狀相同，由（2）得出△APC為等腰三角形，再分兩種情況進行討論：①點M在平行四邊形內；②點M在平行四邊形外；又分兩種情況：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延長線上．
解答：解：（1）如圖1，作AE⊥BC于點E．
∵AC⊥AB，AB=15，AC=20，
∴BC==25，
∴AE=AB•sinB=15×=15×=12，BE=AB•cosB=15×=15×=9，
∴PE=BP-BE=x-9，
∵點M在平行四邊形內，
∴垂直時BP最小等于BE，BP最大接近BC，
在Rt△AEP中，由勾股定理得AP²=PE²+AE²，
∴y=（9≤x＜25）；

（2）存在與△AMD相似的△APC，理由如下：
∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴Rt△APM∽Rt△ACD，
∴AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，
又∠PAC=∠MAD，
∴△PAC∽△MAD；

（3）∵△PAC∽△MAD，
∴當△AMD為等腰三角形時，△APC也為等腰三角形．
①當點M在平行四邊形內時，如圖1．點P只能在EC上．
∵∠APC為鈍角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=12.5，
即BP=12.5；
②當點M在平行四邊形外時，
（i）若P在BC上，如圖2．點P只能在BE上．
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=20，則BP=5；
（ii）若P在BC的延長線上，如圖3．
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=20，則BP=45．
綜上可知，當△AMD為等腰三角形時，BP的長為12.5或5或45．
點評：本題考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．運用數形結合及分類討論是解題的關鍵．