Question

如圖，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，過O點作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P
（1）求證：OE=OF；
（2）寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）若要證明OE=OF，則只要證明OE所在△BOF全等于OF所在△COE即可；
（2）線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式是：EF+

2

CP=BC，找到跟三條線段有關系的線段OE、OP、OC，利用（1）中的三角形全等條件和等腰直角三角形的性質以及勾股定理證明即可．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=∠DOC=90°，
∴∠BOF+∠FOP=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOE=90°，
∴∠EOC+∠FOP=90°
∴∠BOF=∠EOC，
又∵OB=OC，∠OBF=∠DCE=45°，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF；

（2）EF+

2

CP=BC，
證明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP，
∵BC=

2

OC=

2

（OP+PC），
∴EF+

2

CP=BC．

點評：本題考查了正方形的性質，利用正方形的特殊性質求解．結合了三角形全等的問題，并且涉及到探究性的問題，屬于綜合性比較強的問題．要求解此類問題就要對基本的知識點有很清楚的認識，熟練掌握．