Question

如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S_{四邊形AOBO′}=6+3；⑤S_△AOC+S_△AOB=6+．其中正確的結論是（ ）
A．①②③⑤
B．①②③④
C．①②③④⑤
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；
=S_△AOO′+S_△OBO′=6+4，故結論④錯誤；
如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S_△AOC+S_△AOB轉化為S_△COO″+S_△AOO″，計算可得結論⑤正確．
解答：解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，
故結論①正確；
如圖①，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結論③正確；
=S_△AOO′+S_△OBO′=×3×4+×4²=6+4，
故結論④錯誤；
如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．
易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形，
則S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=×3×4+×3²=6+，
故結論⑤正確．
綜上所述，正確的結論為：①②③⑤．
故選A．
點評：本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數3、4、5所構成的三角形是直角三角形，這是本題的要點．在判定結論⑤時，將△AOB向不同方向旋轉，體現了結論①-結論④解題思路的拓展應用．