Question

如圖，P是正△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，將線段PA以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AP₁，連結P₁C．
（1）判斷△APB與△AP₁C是否全等，請說明理由；
（2）求∠APB的度數；
（3）求△APB 與△APC的面積之和；
（4）直接寫出△BPC的面積，不需要說理．

Answer 1

分析：（1）根據正三角形的性質求出AB=AC，∠BAC=60°，再根據旋轉的性質可得AP₁=AP，然后求出∠CAP₁=∠BAP，再利用“邊角邊”證明△APB與△AP₁C全等即可；
（2）連結PP₁，求出△PAP₁是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得PP₁=AP=3，∠AP₁P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP₁P=90°，然后計算即可得解；
（3）根據全等三角形的面積相等求出△APB與△APC的面積之和等于四邊形APCP₁的面積，然后根據等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計算即可得解；
（4）同理求出△ABP和△BPC的面積的和，△APC和△BPC的面積的和，從而求出△ABC的面積，然后根據△BPC的面積=△ABC的面積-△APB與△APC的面積的和計算即可得解．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵線段AP以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AP₁，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∠CAP₁+∠PAC=∠PAP₁=60°，
∴∠BAP=∠CAP₁，
∵在△APB與△AP₁C中，

AB=AC ∠BAP=∠CAP1 AP=AP1

，
∴△APB≌△AP₁C（SAS）；

（2）連結PP₁，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，
∴△PAP₁是等邊三角形，
∴PP₁=AP=3，∠AP₁P=60°，
∵△APB≌△AP₁C，
∴CP₁=BP=4，
∵CP=5，
∴PP₁²+CP₁²=CP²，
∴△CP₁P是直角三角形，∠CP₁P=90°，
∴∠APB=∠AP₁P+∠CP₁P=60°+90°=150°；

（3）由（1）（2）可知，S_△APP1=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，
S_△PP1C=

1

2

×3×4=6，
∴S_{四邊形APCP1}=S_△APP1+S_△PP1C=

9 3

4

+6；
∵△APB≌△AP₁C，
∴S_△ABP+S_△APC=S_{四邊形APCP1}=

9 3

4

+6，
即△APB與△APC的面積之和為

9 3

4

+6；

（4）同理可求：△ABP和△BPC的面積的和=

1

2

×4×

4 3

2

+

1

2

×3×4=4

3

+6，
△APC和△BPC的面積的和=

1

2

×5×

5 3

2

+

1

2

×3×4=

25 3

4

+6，
∴△ABC的面積=

1

2

（

9 3

4

+6+4

3

+6+

25 3

4

+6）=

25 3

4

+9，
∴△BPC的面積=△ABC的面積-△APB與△APC的面積的和=

25 3

4

+9-（

9 3

4

+6）=

25 3

4

+9-

9 3

4

-6=4

3

+3．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理逆定理的應用，（4）較為復雜，求出△ABC的面積是解題的關鍵．