Question

（2009•金山區二模）在矩形ABCD中，AB=3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E．
（1）若直線l過點B，把△ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A′重合，求BC的長；
（2）若直線l與AB相交于點F，且AO=AC，設AD的長為x，五邊形BCDEF的面積為S．
①求S關于x的函數關系式，并指出x的取值范圍；
②探索：是否存在這樣的x，以A為圓心，以x-長為半徑的圓與直線l相切？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及軸對稱的性質得到AC=2AB，進而利用勾股定理求解即可．
（2）①五邊形的面積=矩形的面積-S_△AEF，利用相似可求得AE，AF的長度．
②圓與直線l相切，半徑x-應等于AO長．
解答：解：（1）∵A′是矩形ABCD的對稱中心，
∴A′B=AA′=AC（1分）
又∵AB=A′B，AB=3，
AC=6，（1分）
在Rt△ABC中BC²=AC²-AB²
∴．（2分）

（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴．（1分）
∵，（1分）
易證△AOF∽△ABC，，（1分）
同理可得，（1分）
∴=，
∴，
即：（）．
②若圓A與直線l相切，
則，（1分）
15x²-24x=0，x₁=0（舍去），．（1分）
∵，
∴不存在這樣的x，使圓A與直線l相切．（1分）
點評：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；圓與直線相切，半徑等于圓心到直線的距離．