Question

如圖①，P是△ABC邊AC上的動點，以P為頂點作矩形PDEF，頂點D,E在邊BC上，頂點F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a , h,且是關于x的一元二次方程的兩個實數根，設過D, E,F三點的⊙O的面積為,矩形PDEF的面積為

（1）求證：以a+h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）當的值最小時，過點A作BC的平行線交直線BP與Q，這時線段AQ的長與m , n , k的取值是否有關？請說明理由。（11分）

Answer 1

（1）略
（2）
（3）線段AQ的長與m，n，k的取值有關解析:
解：解法一：
（1）據題意，∵a+h=.
∴所求正方形與矩形的面積之比：
  1分
由知同號,
   2分
（說明:此處未得出只扣1分, 不再影響下面評分）
3分
即正方形與矩形的面積之比不小于4.
（2）∵∠FED=90º,∴DF為⊙O的直徑.

⊙

∴⊙O的面積為：．  4分

矩形PDEF的面積：．

⊙

∴面積之比：設

⊙

……………………………………………………………6分

,   

⊙

，即時（EF=DE）, 的最小值為  7分

⊙

（3）當的值最小時，這時矩形PDEF的四邊相等為正方形．

過B點過BM⊥AQ，M為垂足，BM交直線PF于N點，設FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN ="FP" =e.
由BC∥MQ,得：BM ="AG" =h.
∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,
∴△FBP∽△ABQ.     8分 （說明：此處有多種相似關系可用，要同等分步驟評分）
∴,……9分
∴.∴……10分
……11分
∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關.    （解題過程敘述基本清楚即可）
解法二：
（1）∵a，h為線段長，即a，h都大于0，
　∴ah＞０…………1分（說明:此處未得出只扣1分,再不影響下面評分）
∵（a-h）２≥０，當a＝h時等號成立.
　　　　   故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．   2分
　　　　∴（a＋h）２≥４a h，
　　　　∴≥４．（﹡）    3分
　　　　　　這就證得≥４．（敘述基本明晰即可）
（2）設矩形PDEF的邊PD=x，DE=y，則⊙O的直徑為 .
S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy

⊙

=  

= 6分
由（1）（*），            .
.

⊙

∴的最小值是  7分

⊙

（3）當的值最小時，

這時矩形PDEF的四邊相等為正方形. ∴EF=PF．作AG⊥BC，G為垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴.……8分
∵△AQB∽△FPB, ，……9分
∴=．
而 EF=PF，∴AG="AQ=h," ……………10分
∴AG=h＝,
或者AG=h＝ 11分
∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關. （解題過程敘述基本清楚即可）