Question

以坐標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B。

（1）如圖一，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動，若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經過1秒后點P運動到點（2，0），此時PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ，求∠QOP的大小；
（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，點P停留在點（2，0）處不動，求點Q再經過5秒后直線PQ被截得的弦長。

Answer 1

解：（1）如圖，連結AQ， 由題意可知：OQ=OA=1， ∵OP=2， ∴A為OP的中點， ∵PQ與O相切于點Q， ∴△OQP為直角三角形， ∴， 即ΔOAQ為等邊三角形， ∴∠QOP=60°；
（2）由（1）可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，那么再過5秒，則Q點落在O與y軸負半軸的交點處（如圖二），設直線PQ與O的另外一個交點為D，過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點， ∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2， ∴QP=， ∵， ∴OC=， ∵OC⊥QD，OQ=1，OC=， ∴QC=， ∴QD=。