Question

10、三個連續自然數的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）

不是

某個自然數的平方．

Answer 1

分析：設三個連續自然數是a-1，a，a+1，則它們的平方和是（a-1）²+a²+（a+1）²=3a²+2，故它們的和被3除余2，而自然數被3除時，余數只能是0或1或2，于是它們可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然數）中的一個，則它們的平方為9b²，9b²+6b+1，9b²+12b+4，余數要么是0，要么是1，不能是2．

解答：解：設三個連續自然數是a-1，a，a+1，則它們的平方和是（a-1）²+a²+（a+1）²=3a²+2，
顯然，這個和被3除時必得余數2．
另一方面，自然數被3除時，余數只能是0或1或2，于是它們可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然數）中的一個，但是它們的平方（3b）²=9b²
（3b+1）²=9b²+6b+1，
（3b+2）²=9b²+12b+4
=（9b²+12b+3）+1
被3除時，余數要么是0，要么是1，不能是2，
所以三個連續自然數平方和不是某個自然數的平方．

點評：本題考查了完全平方數的性質，是一道很好的競賽題，難度偏大．