Question

如圖，設梯形兩對角線交于M，且 S_△AOB=c²，S_△AMB=a²，c＞a＞0，則S_梯形ABCD=（　　）

• A、

  4a2c4

  (c2+a2)2

• B、

  4a2c2

  c2+a2

• C、

  4a2c4

  (c2-a2)2

• D、

  4a2c2

  c2-a2

Answer 1

分析：首先由梯形的性質，得到△AOB∽△DOC，△AMB∽△CMD，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方與等高三角形面積的比等于其對應底的比，求解即可得到結果．

解答：解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，△AMB∽△CMD，
設S_△MBC=x，則S_△MAD=x，

MC

MA

=

S△MBC

S△MAB

=

x

a2

，

S△DMC

S△DMA

=

MC

MA

=

x

a2

，S_△DMC=

x

a2

，S_△DMA=

x2

a2

．

c2+a2+x

x2 a2 +x

=

S△OBD

S△CBD

=

OB

CB

=

S△OBA

S△CBA

=

c2

a2+x

．
∴（c²+a²+x）（a²+x）=c²•（

x2

a2

+x）=

c2x

a2

（a²+x），
∴c²+a²+x=

c2

a2

•x•x=

(a2+c2)a2

c2-a2

，
∴S_梯形ABCD=a²+2x+

c2

a2

=a²+

2(a2+c2)a2

c2-a2

+

(a2+c2)2a2

(c2-a2)2

=

4a2c4

(c2-a2) 2

．
故選C．

點評：此題考查了相似三角形的面積比等于相似比的平方與等高三角形面積的比等于其對應底的比的知識．此題難度較大，要注意數形結合思想的應用與比之的計算．