Question

（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經過點D．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）連結OD, 根據∠A=2∠1結合其它條件可證明OD⊥DC，可得AC是⊙O的切線；（2）根據∠A=60°，可得∠C=30°，∠DOC=60°，而OD=2，所以CD= OD=2 , 陰影部分的面積=Rt△DOC的面積-扇形DOE的面積，代入數值計算即可．

試題解析：（1）證明：連結OD,∵OD=OB， ∴∠1=∠ODB， ∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1， 而∠A=2∠1， ∴∠DOC=∠A,∵∠A+∠C=90°， ∴∠DOC+∠C=90°， ∴OD⊥DC， ∴AC是⊙O的切線；

（2）【解析】
∵∠A=60°， ∴∠C=30°，∠DOC=60°， 在Rt△DOC中，OD=2， ∴CD= OD=2 , 所以陰影部分的面積=Rt△DOC的面積-扇形DOE的面積=×2×2 - =2-．

考點：1．切線的的判定；2．解直角三角形；3．扇形的面積計算．