Question

如圖，BC是半圓O的直徑，割線EDB交半圓O于D，A是半圓O上一點，AD=DC，EC=3，BD=2.5，tan∠DCE=

2

5

5

．
（1）求證：EC是⊙O的切線；
（2）求AB的長．

Answer 1

分析：（1）欲證EC為切線，即證∠ECB=90°．
（2）連接AC交BD與F，根據相似三角形的判定可得到△ADF∽△BCF根據相似比即可求得AB的長．

解答：（1）證明：∵BC為直徑
∴∠BDC=∠CDE=90°
∵tan∠DCE=

ED

DC

=

2 5

5

設ED=2

5

x，DC=5x
∵EC=3
∴ED²+DC²=EC²∴（2

5

x）²+（5x）²=9
∴x=

5

5

∴DE=2，DC=

5

∵tan∠DBC=

DC

BD

=

2 5

5

=tan∠DCE
∴∠DBC=∠DCE
∴∠DCE+∠DCB=∠DBC+∠DCB=90°
∴EC為切線．

（2）解：連AC交BD于F
由（1）得，AD=DC=

5

，BC=

3

2

5

∵△ADF∽△BCF
∴

DF

CF

=

AD

BC

=

2

3

設DF=2x，則CF=3x
∵CF²-DF²=CD²
∴9x-4x=5
∴x=1
∴DF=2，CF=3
∴BF=

1

2

∵AF=

DF•BF

CF

=

1

3

∴AB=

BF2-AF2

=

1

6

5

．

點評：此題主要考查了三角函數、相似的判定、勾股定理以及相交弦定理等知識點的綜合運用．