Question

如圖，BC是半圓O的直徑，P是BC延長線上一點，PA切⊙O于點A，∠B=30°．
（1）試問AB與AP是否相等？請說明理由．
（2）若PA=

3

，求半圓O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由PA切⊙O于點A，即可得∠PAO=90°，又由圓周角定理，可求得∠AOP的度數，即可證得∠B=∠P=30°，則可證得AB=AP；
（2）由∠P=30°，PA=

3

，利用正切函數，即可求得半圓O的半徑OA的長，繼而求得半圓O的直徑．

解答：解：（1）AB=AP．
理由：連接OA，
∵PA切⊙O于點A，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=2∠B=2×30°=60°，
∴∠P=90°-∠AOP=30°，
∴∠B=∠P，
∴AB=AP；

（2）在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=

3

，
∴OA=PA•tan∠P=

3

×

3

3

=1，
∴半圓O的直徑為：2OA=2．

點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定以及正切函數的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．