Question

如圖，BC是半圓⊙O的直徑，D是弧AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E．
（1）求證：AC•BC=2BD•CD，
（2）若AE=3，CD=2

5

，求弦AB和直徑BC的長．

Answer 1

分析：（1）證明：連接OD交AC于點F．由于D是弧AC的中點，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠ABD=∠CBD，由垂徑定理知，AF=CF=0.5AC．由直徑對的圓周角是直角知∠BDC=∠CFD=90°，有△CDF∽△BCD．得到

CF

BD

=

CD

BC

．故可證．
（2）易得Rt△CDE∽Rt△CAG，有

CE

CG

=

CD

CA

，即

CE

4 5

=

2 5

CE+3

解得CE=5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG=4，由割線定理知，GA•GB=GD•GC，即4（AB+4）=2

5

×4

5

解得AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．

解答：（1）證明：連接OD交AC于點F，
∵D是弧AC的中點，
∴∠ACD=∠ABD=∠CBD，且AF=CF=0.5AC．
又∵BC為直徑，
∴∠BDC=90，又∠CFD=90．
∴△CDF∽△BCD．
∴

CF

BD

=

CD

BC

，故CF•BC=BD•CD．
∴AC•BC=2BD•CD；

（2）解：由（1）得∠ABD=∠CBD，∠BDC=90°，
∴△BCG為等腰三角形，
∴BD平分CG，
∴CG=2CD=4

5

，
在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，
所以Rt△CDE∽Rt△CAG，則

CE

CG

=

CD

CA

，即

CE

4 5

=

2 5

CE+3

，
解得CE=5或CE=-8（舍去）．
在Rt△ACG中，由勾股定理得AG=

CG2-AC2

=

(4 5 )2-(3+5)2

=4，
因為GA•GB=GD•GC，即4（AB+4）=2

5

×4

5

，解得AB=6．
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=

AB2+AC2

=

62+(3+5)2

=10．

點評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，割線定理求解．