Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx﹣c經過直線y＝x﹣3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上的一個動點，求使S△APC：S△ACD＝5：4的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3．（2）滿足條件的點的坐標為（4，5）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）先根據直線y=x-3求出A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數的值．

（2）根據（1）中拋物線的解析式可求出C，D兩點的坐標，由于△APC和△ACD同底，因此面積比等于高的比，即P點縱坐標的絕對值：D點縱坐標的絕對值=5：4．據此可求出P點的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標．

（1）直線y=x-3與坐標軸的交點A（3，0），B（0，-3）．

則，

解得，

∴此拋物線的解析式y=x2-2x-3．

（2）拋物線的頂點D（1，-4），與x軸的另一個交點C（-1，0）．

設P（a，a2-2a-3），則（×4×|a2-2a-3|）：（×4×4）=5：4．

化簡得|a2-2a-3|=5．

當a2-2a-3=5，得a=4或a=-2．

∴P（4，5）或P（-2，5），

當a2-2a-3＜0時，即a2-2a+2=0，此方程無解．

綜上所述，滿足條件的點的坐標為（4，5）或（-2，5）．