Question

如圖，A、B是直線L上的兩點，AB=4厘米，過L外一點C作CD∥L，射線BC與L所成的銳角∠1=60°，線段BC=2厘米，動點P、Q分別從B、C同時出發，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向運動，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向運動．設P，Q運動的時間為t（秒），當t＞2時，PA交CD于E．
（1）用含t的代數式分別表示CE和QE的長．
（2）求△APQ的面積S與t的函數關系式．
（3）當QE恰好平分△APQ的面積時，QE的長是多少厘米？

Answer 1

分析：（1）根據題意的出BP=t，CQ=2t，PC=t-2．再根據EC∥AB，得出

EC

AB

=

PC

PB

最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的長．
（2）本題關鍵是得出S與t的函數關系式，那么求面積就要知道底邊和高的長，我們可以QE為底邊，過P引l的垂線作高，根據P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函數求出高，那么關鍵是求QE的長，我們可以根據Q的速度用時間t表示出CQ，那么只要求出CE即可．因為EC∥BA，那么我們可以用相似三角形的對應線段成比例來求CE的長，根據三角形PEC和PAB相似，可得出關于CE、AB、PC、BC的比例關系式，有BP、BC、AB的值，那么我們就可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根據三角形的面積公式得出關于S與t的函數關系式了．
（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面積，那么此時P到CD和CD到l之間的距離就相等，那么C就是PB的中點，可根據BP=2BC求出t的值，然后根據（1）中得出的表示QE的式子，將t代入即可得出QE的值．

解答：解：（1）由題意知：BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，∴

EC

AB

=

PC

PB

∴EC=

PC•AB

PB

=

4(t-2)

t

∴QE=QC-EC=2t-

4(t-2)

t

=

2(t2-2t+4)

t

（2）作PF⊥L于F，交DC延長線于M，AN⊥CD于N．則在△PBF中，PF=PB•sin60°=

3

2

t
∴S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE
=

1

2

QE•AN+

1

2

QE•PM=

1

2

QE•PF
=

1

2

2(t2-2t+4)

t

•

3

2

t=

3

2

(t2-2t+4)

（3）此時E為PA的中點，所以C也是PB的中點
則t-2=2，
∴t=4
QE=

2(t2-2t+4)

t

=

2(42-2×4+4)

4

=6（厘米）

點評：本題考查了相似三角形的性質以及解直角三角形的應用等知識點，根據相似三角形得出表示CE的式子是解題的關鍵所在．