Question

5．研究下列算式，你會發現什么規律？
$\sqrt{11-2}$=3，
$\sqrt{1111-22}$=33，
$\sqrt{111111-222}$=333，
…
（1）請將你找出的規律用式子表示出來；
（2）你會證明你得到的結論嗎？試試看．

Answer 1

分析 （1）觀察上述算式可發現：根號內被開方數是2n個數字1和n個數字2的差，結果為n個數字3；
（2）從已知三個等式中找出計算規律，然后應用到一般式中．

解答 解：（1）∵$\sqrt{11-2}$=3，$\sqrt{1111-22}$=33，$\sqrt{111111-222}$=333
∴可發現：根號內被開方數是2n個數字1和n個數字2的差，結果為n個數字3，
則第n個算式可表示為：$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}=\underset{\underbrace{33…3}}{n個}$．
（2）∵$\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{1111-22}$=$\sqrt{11×（101-2）}$=$\sqrt{11×99}$=$\sqrt{11×11×9}$=11×3=33；
$\sqrt{111111-222}$=$\sqrt{111×（1001-2）}$=$\sqrt{111×999}$=$\sqrt{111×111×9}$=111×3=333；
∴$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}$=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×（100…1-2）}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×\underset{\underbrace{99…9}}{n個}}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×9}$
=$\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×3$
=$\underset{\underbrace{33…3}}{n個}$．

點評 本題主要考查數字的變化規律，從已知三個等式中提取公因數再開方是證明關鍵．