Question

12．閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題：
已知：如圖1，在△ABC中，三邊的長分別為AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，求∠A的正切值．
小華是這樣解決問題的：
如圖2所示，先在一個正方形網格（每個小正方形的邊長均為1）中畫出格點△ABC（△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），然后在這個正方形網格中再畫一個和△ABC相似的格點△DEF，從而使問題得解．
（1）如圖2，△DEF中與∠A相等的角為∠D，∠A的正切值為$\frac{1}{2}$．
（2）參考小華的方法請解決問題：若△LMN的三邊分別為LM=2，MN=2$\sqrt{2}$，LN=2$\sqrt{5}$，求∠N的正切值．

Answer 1

分析 （1）先證明△DEF∽△ACB得∠D=∠A，根據tan∠A=tan∠D即可解決．
（2）構造一個△RKT∽△MLN得∠T=∠N，根據tan∠N=tan∠T即可解決．

解答 解：（1）由圖2 可知DE=2，EF=2$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，
∵$\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AB}=\sqrt{2}$，
∴△DEF∽△ACB，
∴∠D=∠A，
∴tan∠A=tan∠D=$\frac{1}{2}$，
故答案分別為∠D，$\frac{1}{2}$
（2）在圖3中，作一個△RKT，使得PK=$\sqrt{5}$，RT=$\sqrt{10}$，KT=5，
∵LM=2，NM=2$\sqrt{2}$，LN=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{RK}{LM}=\frac{RT}{MN}=\frac{KT}{LN}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△RKT∽△MLN，
∴∠T=∠N，
∴tan∠N=tan∠T=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、勾股定理、三角函數的定義等知識，學會用轉化的數學思想解決問題，構造一個三角形和已知三角形相似是解題的關鍵．