Question

如圖所示，已知點A在第一象限內，點B和點C在x軸上，且關于原點O對稱，AO=AB．如果關于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有實數根，△ABO的面積為2，反比例函數的圖象經過點A．
（1）求BO的長；
（2）求反比例函數的解析式；
（3）如果P是這個反比例函數圖象上的一點，且∠BPC=90°，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）要求BO的長，需要根據關于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有實數根有實根的情況，利用跟的判別式就可以求出．
（2）若設y=

k

x

，因為AO=AB，△ABO的面積為2，所以k的絕對值為2，根據圖象位置可求k值；
（3）若設P（m，2m），則容易寫出直線PB，PC解析式，從而求出m與系數關系，再根據系數之積為-1可求m值，既而寫出P的坐標．

解答：解：（1）∵關于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有實數根，
∴△=（BO+4）²-4（BO²-BO+7）≥0．（2分）
∴-3（BO-2）²≥0．∴（BO-2）²≤0．
又∵（BO-2）²≥0，∴（BO-2）²=0．（1分）
∴BO=2．（1分）

（2）設A（x，y），其中y＞0．
∵S_△ABO=2，∴

1

2

×OB•y=2．∴y=2．（1分）
又∵AO=AB，即點A在OB中垂線上，∴x=1．（1分）
∴A（1，2）．
設反比例函數的解析式為y=

k

x

(k≠0)．代入A（1，2），得k=2．
∴所求反比例函數的解析式為y=

2

x

．（1分）

（3）設點P的坐標為（x，

2

x

）．
∵點C、B關于原點O對稱，B（2，0），∴C（-2，0）．（1分）
∴BC=4．
當∠BPC=90°時，BC²=BP²+PC²，
即42=(x-2)2+

4

x2

+(x+2)2+

4

x2

．（1分）
化簡整理，得x2-4+

4

x2

=0．（1分）
∴(x-

2

x

)2=0．
∴x-

2

x

=0．整理，得x²=2．
解得x=±

2

．（1分）
經檢驗：x=±

2

都是原方程的根．
∴點P的坐標為（

2

 ， 

2

）或（-

2

 ， -

2

）．（1分）

點評：此題難度中等，考查反比例函數、一次函數的圖象和性質．一元二次方程根的判別式的運用，同時同學們要掌握解方程（組）的方法．