Question

【題目】已知點A、B（AB＜2），現沒有直尺，只有一把生銹的圓規，僅能做出半徑為1的圓，能否在平面內找到一點F，使得△ABF是等邊三角形？

小天經過探究完成了以下的作圖步驟：

第一步：分別以點A、B為圓心，1為半徑作圓，兩圓交于點C；

第二步：以C為圓心，1為半徑作圓交第一步中的兩圓于點D、E；

第三步：分別以D、E為圓心，1為半徑作圓，兩圓交于點C、F，

（1）請將圖補充完整，并作出△ABF．

（2）以下說法中，

①點C在線段AB的垂直平分線上；

②△CAD和△CBE都是等邊三角形；

③點C在線段AF的垂直平分線上；

④△ABF是等邊三角形，

正確的有　 　．（填上所有正確的序號）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①②④．

【解析】

（1）按第三步作圖，兩圓交于點C，F，連結AF，BF，AB，得到△ABF是等邊三角形；

（2）由作圖步驟及圓的性質可對結論判斷即可．

解：（1）如圖，連結AF，BF，AB，則△ABF是等邊三角形；

（2）∵分別以點A、B為圓心，1為半徑作圓，兩圓交于點C，

∴AC＝BC，

∴點C在線段AB的垂直平分線上，

故①正確；

∵分別以點A、B為圓心，1為半徑作圓，兩圓交于點C；以C為圓心，1為半徑作圓交第一步中的兩圓于點D、E；

∴AD＝AC＝DC＝1，BC＝CE＝BE＝1，

∴△CAD和△CBE都是等邊三角形，

故②正確，

由作圖可知AC＝1，而CF≠1，

∴點C不在線段AF的垂直平分線上，

故③錯誤；

由①知點C在線段AB的垂直平分線上，

∴點F在線段AB的垂直平分線上，

∴AF＝BF，

同理AB＝BF，

∴△ABF是等邊三角形，

故④正確．

故答案為：①②④．