Question

如圖二次函數y=

1

2

x2-2x+4的圖象交y軸于點A，頂點為點B．
（1）判斷點B是否在直線y=x上，并說明理由；
（2）若直線y=kx+1交y軸于點P，交直線AB于點C，若△APC為等腰三角形，求直線y=kx+1的解析式．

Answer 1

分析：（1）將已知的二次函數解析式化為頂點坐標式，即可得到頂點B的坐標，然后將其坐標代入直線OB中進行驗證即可．
（2）根據直線PC的坐標，可確定P（0，1），根據A、B的坐標可知，△ABO是等腰直角三角形，然后分三種情況考慮：
①AC=PC，此時PC與OB平行，即直線PC的斜率為1，可據此確定該直線的解析式；
②AP=PC，此時PC與x軸平行，即k=0，該直線的解析式為y=1；
③AP=AC=3，過C作CD⊥x軸于D，設直線AB與x軸的交點為E，易得CE的長，而△CDE是等腰直角三角形，即可求得CD、DE的長，從而得到點C的坐標，然后利用待定系數法求得此時直線PC的解析式．

解答：解：（1）已知y=

1

2

x2-2x+4=

1

2

（x-2）²+2，
故B（2，2）；
代入直線y=x中，得2=2，
所以點B在直線y=x上．

（2）由于A（0，4），B（2，2）；
故△AOB是等腰直角三角形，且∠ABO=90°；
易知：P（0，1），AP=3，
分三種情況：
①AC=PC，則PC∥OB，由于直線OB：y=x，則直線PC：y=x+1；
②AP=PC，此時AP⊥y軸，即AP∥x軸，故k=0，直線PC：y=1；
③AP=AC=3，過C作CD⊥x軸于D；
則CE=AE-AC=4

2

-3，CD=DE=4-

3 2

2

，OD=OE-DE=

3 2

2

；
故C（

3 2

2

，4-

3 2

2

），代入直線y=kx+1，
得：

3 2

2

k+1=4-

3 2

2

，k=

2

-1；
故直線PC：y=（

2

-1）x+1；
綜上所述，直線y=kx+1的解析式為：y=x+1或y=1或y=（

2

-1）x+1．

點評：此題主要考查了拋物線頂點坐標的求法、等腰直角三角形的判定和性質、等腰三角形的構成情況、一次函數解析式的確定等知識，要注意的是（2）題中，由于等腰三角形的腰和底沒有明確告知，需要分類討論，以免漏解．