Question

請先畫一個直角三角形ABC，使∠C=90°，再畫兩銳角∠A，∠B的角平分線AO、BO交于點O．
（1）請計算∠AOB的度數；
（1）經過點O畫直線DE∥AB交AC于點D，交BC于點E；其中有兩個等腰三角形，找一個出來加以說明．

Answer 1

分析：（1）先過一點作一直線的垂線，作出直角三角形，再根據角平分線的作法作出角平分線得到交點O，根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠BAC，再根據角平分線的定義求出∠OAB+∠OBA，在△AOB中，利用三角形內角和定理列式進行計算即可得解；
（2）等腰三角形有△BOE和△AOD，根據角平分線的定義以及平行線的性質求出∠AOD=∠DAO，然后利用等角對等邊的性質即可證明．

解答：解：（1）Rt△ABC如圖所示，
∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-90°=90°，
∵AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，
∴∠OAB=

1

2

∠BAC，∠OBA=

1

2

∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

×90°=45°，
在△AOB中，∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°；

（2）等腰三角形有△BOE和△AOD．
以證明△AOD為例：
∵AO是∠BAC的平分線，
∴∠BAO=∠DAO，
∵DE∥AB，
∴∠BAO=∠AOD，
∴∠AOD=∠DAO，
∴AD=OD，
即△AOD是等腰三角形．

點評：本題考查了復雜作圖，主要利用了過一點作已知直線的作法，角的平分線的作法，三角形的內角和定理，角平分線的定義，等腰三角形的判定，綜合題，但難度不大．