Question

在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為

5

、

10

、

13

，求這個三角形的面積．小華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．這種方法叫做構圖法．
（1）△ABC的面積為：

3.5

．
（2）若△DEF三邊的長分別為

5

、

8

、

17

，請在圖2的正方形網格中畫出相應的△DEF，并利用構圖法求出它的面積為

3

．
（3）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論．
（4）如圖4，一個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13m²、25m²、36m²，則六邊形花壇ABCDEF的面積是

110

m²．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；
（2）根據網格結構和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；
（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角邊”證明△ABG和△EAP全等，同理可證△ACG和△FAQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得EP=AG=FQ；
（4）過R作RH⊥PQ于H，設PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解無理方程求出h，從而求出△PQR的面積，再根據六邊形被分成的四個三角形的面積相等，總面積等于各部分的面積之和列式計算即可得解．

解答：解：（1）△ABC的面積=3×3-

1

2

×2×1-

1

2

×3×1-

1

2

×2×3=，
=9-1-1.5-3，
=9-5.5，
=3.5；

（2）△DEF如圖2所示；
面積=2×4-

1

2

×1×2-

1

2

×2×2-

1

2

×1×4，
=8-1-2-2，
=8-5，
=3；

（3）∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°，
又∵∠AEP+∠PAE=90°，
∴∠BAG=∠AEP，
在△ABG和△EAP中，

∠BAG=∠AEP ∠AGB=∠EPA=90° AB=AE

，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
同理可證，△ACG≌△FAQ，
∴EP=AG=FQ；

（4）如圖4，過R作RH⊥PQ于H，設PH=h，
在Rt△PRH中，PH=

PR2-RH2

=

25-h2

，
在Rt△RQH中，QH=

RQ2-RH2

=

13-h2

，
∴PQ=

25-h2

+

13-h2

=6，

25-h2

=6-

13-h2

，
兩邊平方得，25-h²=36-12

13-h2

+13-h²，
整理得，

13-h2

=2，
兩邊平方得，13-h²=4，
解得h=3，
∴S_△PQR=

1

2

×6×3=9，
∴六邊形花壇ABCDEF的面積=25+13+36+4×9=74+36=110m²．
故答案為：（1）3.5；（2）3；（4）110．

點評：本題考查了勾股定理，構圖法求三角形的面積，全等三角形的判定與性質，讀懂題目信息，理解構圖法的操作方法是解題的關鍵．