Question

18．如圖，過⊙O外一點P向⊙O作兩條切線，切點分別為A，B，若⊙O半徑為2，∠APB=60°，則圖中陰影部分的面積為4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 連接OA、OB，OP，如圖，根據切線的性質和切線長定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，則根據四邊形內角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，則S_△PAO=2$\sqrt{3}$，然后根據扇形面積公式，利用陰影部分的面積=S_{四邊形AOBP}-S_扇形AOB進行計算．

解答 解：連接OA、OB，OP，如圖，
∵PA，PB是⊙O的兩條切線，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，
在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，
∴AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=S_{四邊形AOBP}-S_扇形AOB
=2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．
故答案為：4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．會利用面積的和差計算不規則圖形的面積．