Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝a（x﹣）（x+）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線DE是拋物線的對稱軸，點D在x軸上，點E在拋物線上，直線y＝kx+過點A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第二象限對稱軸左側拋物線上一點，過點P作PQ∥AC交對稱軸于點Q，設點P的橫坐標為t，線段QD的長為d，求d與t的函數解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，直線AC與對稱軸交于點F，點M在對稱軸ED上，連接AM、AE，∠AMD＝2∠EAM，過點A作AG⊥AM交過點D平行于AE的直線于點G，點N是線段BP延長線上一點，連接AN、MN、NF，若四邊形NMGA與四邊形NFDA的面積相等，且FN∥AM，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+；（2）d＝﹣t2﹣t+5；（3）P(﹣5，)．

【解析】

（1）由已知可求C(0，)，再將點C代入拋物線解析式即可求出a的值，即可得到二次函數的解析式；

（2）P(t，﹣t2﹣t+)，過點P作PT⊥x軸，PS⊥y軸交DE于點L，則PT＝﹣t2﹣t+，PS＝﹣t，在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DT＝PL＝﹣t﹣，設AC交DE于點F，由∠PQL＝∠AFL＝∠ACO，則tan∠PQL＝tan∠AFL＝tan∠ACO＝，QL＝﹣t﹣，即可得到d＝﹣t2﹣t+5；

（3）先證明△AMG≌△DFA，得到△AMN與△ANF的面積相等，過點M作MK⊥AN于點K，過點F作FH⊥AN于點H，再證明四邊形HKMF為平行四邊形，四邊形AMFN為平行四邊形，求出BN的解析式為y＝﹣x+，即可求P點坐標．

（1）∵直線y＝kx+與y軸交于點C，

∴C(0，)，

∴OC＝，

∵y＝a（x﹣）（x+）經過點C，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2﹣x+；

（2）∵y＝﹣x2﹣x+，

∴設P(t，﹣t2﹣t+)，A(﹣，0)，B(，0)，

∴tan∠ACO＝＝，

過點P作PT⊥x軸，PS⊥y軸交DE于點L，

∴PT＝﹣t2﹣t+，PS＝﹣t，

∵DE是拋物線的對稱軸，

∴D(﹣，0)，

在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DT＝PL＝﹣t﹣，

設AC交DE于點F，

∵PQ∥AC，DE∥y軸，

∴∠PQL＝∠AFL＝∠ACO，

∴tan∠PQL＝tan∠AFL＝tan∠ACO＝，

∴QL＝﹣t﹣，

∵DQ＝DL+QL，

∴d＝﹣t2﹣t+5；

（3）∠EAM＝α，則∠AMD＝2∠EAM＝2α，

∴∠AEM＝∠EAM＝α，

∴AM＝EM，

∵DE＝8，AD＝4，

∴在RtADM中，AM2=(8-AM)2+42，

∴AM＝EM＝5，DM＝3，

∵DG∥AE，

∴∠GDJ＝∠AEM＝α，

∴∠ADG＝90°﹣α，

∵AM⊥AG，

∴∠MAG＝90°，

∴∠DAG+∠MAD=∠AMD+∠MAD，

∴∠DAG＝∠AMD＝2α，

∴∠AGD＝∠ADG＝90°﹣α，

∴AG＝AD＝4，

∵tan∠AFD＝，

∴DF＝5，

在△AMG與△DFA中，

，

∴△AMG≌△DFA（SAS），

∴△AMG與△DAF的面積相等，

∵四邊形NMGA與四邊形NFDA的面積相等，

∴△AMN與△ANF的面積相等，

如圖2，過點M作MK⊥AN于點K，過點F作FH⊥AN于點H，

∴MK＝FH，

∵MK∥FH，

∴四邊形HKMF為平行四邊形，

∴AN∥DE，

∴點N與點A的橫坐標相等，

∵AM∥NF，

∴四邊形AMFN為平行四邊形，

∴AN＝MF＝DF﹣DM＝2，

∴N(﹣，2)，

∴BN的解析式為：y＝﹣x+，

∴﹣x+＝﹣x2﹣x+，

∴x＝﹣5或x＝（舍），

∴P(﹣5，)．